Question:
demontrer que des nombres P et Q sont pair ou impair ?
2008-10-29 08:15:39 UTC
voila ceci est un devoir maison non noté mais par curiosité je souhaite avoir un peu d'aide cela fait depuis lundi que j'y suis dessus et que j'y passe 2a 3 heures pas jours donc la je suis vraiment bloquer voici le sujet :

supposons que racine de 2 est rationnel et qu'il peut s'ecrire sous la forme p/q P et Q etant des entiers naturels non nuls .

1)justifier que p^2 = 2 x q^2. en deduire que p^2 est pair ( je pense avoir trouver mais je ne suis pas sur)
2)
a)démontrer que si p est pair alors p^2 est pair. de meme avec p impair. (résolu mais sur a 75 % donc voila)
b)en deduire que p est pair (des idée mais pas de réel resultat pour démontrer)

3)voila ou je suis bloquer: P étant pair,posons p=2p' avec p' un entiers positif. démontrer que Q^2=2p'^2

4)en déduire, grâce aux réponces précédentes que q est pair
5)
a)pourquoi les questions 2 et 3 sont elles contradictoires avec l'hypothèse de départ ?
b)en déduire que racine de 2 est irrationnel

voila si vous y arriver sa m'aiderai beaucoup pour le contrôle que j'aurai a la rentrée (ce DM a été donné sans avoir fait de lecons dessus donc voila) merci a vous tous qui , j'espère répondrons.
Trois réponses:
Sylver
2008-10-29 08:28:52 UTC
On a : p = 2p' et p² = 2q²

p = 2p' => p² = (2p')² = 4(p')²

Or p² = 2q² donc 4(p')² = 2q²

En simplifiant par 2, on a 2(p')² = q² soit q² = 2(p')²







http://sylver-sword.labrute.fr
Nimajavel
2008-10-29 15:42:24 UTC
1) sqrt(2) = P/Q (d'après l'énoncé)



<=> 2 = (P/Q)² = P²/Q²



<=> P² = 2 x Q²



P² est donc pair car il s'écrit sous la forme 2 x N avec N entier (car Q² est entier)



2)a) Si P et pair, alors il peut s'écrire sous la forme P = 2a (avec a entier)



P = 2a



P² = (2a)² = 4a² = 2 A (avec chgt de variable A = 2a², et A est pair ca 2a² est pair)



Donc si P est pair alors p² est pair



Posons P =2a + 1 (P impair donc)



P² = 4a² + 4a + 1 = B + 1 (En posant B = 4a²+4a , qui est pair donc B + 1 impair)



Si P est impair, alors P² est impair





2)b) d'près 1) P² est pair. D'après 2)a) Si P² est pair alors P est pair... Donc P est bel et bien pair.



2 = P² / Q² (voir 1) )



2 = 4p' ² / Q²



Q² = 4p' ² / 2 = 2p' ²



4) Q² = 2p' ² avec p' entier donc p' ² est entier donc 2 p' ² est pair



Donc Q² est pair donc, d'après la conclusion au 2)b), Q est pair



5)a) et b) si Q et P sont pair, alors P/Q n'est pas irréductible (Plus Grand Diviseur Commun à 2 dans ce cas), Donc racine de 2 n'est pas rationnel (voir définition de la rationalité d'un nombre).
arnaud_sorin
2008-10-29 15:39:28 UTC
1/ p/q = racine (2) donc en élevant au carré p^2=2*q^2

Un nombre est pair s'il peut s'écrire sous la forme 2*N où N est entier

CQFD qvec l'égalité précédente puisque q est un nombre entier donc q^2 est entier aussi



2/

a)si p pair p = 2*N => p^2 = 4 N^2 = 2 (2 N^2) donc pair

si p impair p = 2*N + 1 => p^2 = (4*n^2+2*N) + 1 donc impair



b) avec 1/ et 2/a) => p pair



3/ d'après 1/ q^2=p^2/2= 4p'^2/2=2p'^2



4/ directement d'après l'équation de 3/ et 2/a)



5:

a) ceci voudrait dire que la fraction serait réductible à l'infini

b) directement de 5/b)


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